Desmuntant la màgia numèrica

Segur que més d’una vegada heu fet, o us han fet, algun d’aquests trucs de màgia de l’estil “agafa un nombre, suma-li 3, resta-li 5… i téns un 6, oi?”. Són trucs de màgia, sí, perquè com tot truc de màgia semblen quelcom impossible; però també són trucs de màgia per una senzilla raó: ténen truc.

El meu propòsit d’aquest post és analitzar-ne uns quants i veure que, en efecte, la seqüència d’operacions aplicades a un nombre sempre ens porten a una mateixa situació, i no és el mag que (amb tots els meus respectes!) l’endevina per art de màgia. Per a cadascun, veurem com s’aplica la seqüència per a un cas genèric, i deduirem el perquè de la solució.

Primer exemple, d’aquí

Començarem amb un de molt fàcil. La seqüència canvia sempre; posarem per exemple el cas que jo em vaig trobar.

  1. Pensem un nombre: qualsevol nombre és x
  2. Li sumem 9: x+9
  3. Li sumem 2: x+9+2=x+11
  4. Li sumem 17: x+11+17=x+28
  5. Li sumem 19: x+28+19=x+47
  6. Li restem 13: x+47-13=x+34
  7. Li restem el nombre pensat: x+34-x=34
  8. És 34? En efecte, sempre és 34.

Afegim multiplicacions i divisions! (d’aquí, el quart)

  1. Pensa un nombre: sigui x, com abans
  2. Multiplica’l per 3: 3*x = 3x
  3. Suma-li 15: 3*x+15
  4. Multiplica’l per 2: (3*x+15)*2=3*x*2+15*2=6x+30
  5. Divideix-lo per 6: (6x+30)/6=6x/6+30/6=x+5
  6. Resta el nombre original: x+5-x=5
  7. Dóna 5? I és clar, que dóna 5! Sempre!

Afegint nombres d’una xifra (d’aquí, el segon)

Afegim nombres de més d’una xifra! Un nombre de 2 xifres es representa 10x+y, per exemple. Vegem-ho amb (què se jo!) 48. Sabem que 48=40+8 = 4*10 + 8, així x=4 i y=8. Som-hi.

En aquest cas, veurem com a partir de jugar una mica amb un nombre A, i afegint-ne un altre de dues xifres BC, tindrem un nombre ABC finalment.

  1. Pensa un nombre d’una xifra i un de dues: siguin x i 10y+z, respectivament
  2. Agafem el nombre d’una xifra: x
  3. Multipliquem per 5: 5*x=5x
  4. Sumem 5: 5x+5
  5. Multipliquem per 10: (5x+5)*10=50x+50
  6. Sumem 20: 50x+50+20=50x+70
  7. Multipliquem per 2: (50x+70)*2=100x+140
  8. Restem 8: 100x+140-8=100x+132
  9. Sumem l’altre nombre: 100x+132+10y+z=100x+10y+z+132
  10. Restem 132: 100x+10y+z+132-132=100x+10y+z

Tindrem un nombre de tres xifres xyz.

Compliquem una mica més! (d’aquí, el quart)

  1. Pensem un nombre enter qualsevol: sigui x
  2. Multipliquem per 2: 2*x=2x
  3. Sumem 5: 2x+5
  4. Multipliquem per 50: (2x+5)*50=100x+250
  5. Afegim un nombre de dues xifres: 100x+250+10y+z
  6. Multipliquem per 4: (100x+250+10y+z)*4=400x+1000+40y+4z
  7. Restem 1000: 400x+1000+40y+4z-1000=400x+40y+4z
  8. Dividim per 400: (400x+40y+4z)/4=(100x+10y+z)/100, que és com córrer la coma dos llocs, i obtenir x,yz

L’últim: el difícil! (d’aquí)

Aquest m’ha costat una mica: no és fàcil. Començem:

  1. Agafem un nombre de tres xifres: 100x+10y+z. Suposarem que x>z, sense perdre generalitat (per demostrar z>x, intercanviem els dos)
  2. Agafem el revessat d’aquest (de 431, seria 134): 100z+10y+x
  3. Restem l’un a l’altre: (100x+10y+z)-(100z+10y+x)=100x+10y+z-100z-10y-x=100x-x+z-100z=99x-99z=99(x-z), un múltiple de 99
  4. Ara farem una pausa. Hem de revessar aquest nombre. Fent manipulacions, 99(x-z)=(100-1)(x-z)=100(x-z)-1(x-z)=100(x-z)+1(z-x). Però z-x és negatiu, ja que z-x.

    Així, restarem una unitat a les centenes: 100(x-z-1), però en sumarem 100+z-x, que és 90 + 10+z-x.

    El nombre queda 100(x-z-1)+90+(10+z-x). El revessat és 100(10+z-x)+90+(x-z-1)

    Exemple: x=5, y=1. 1o0(x-z)=100(5-1)=400. Però z-x=1-5=-4. Llavors 400-4 = 396.

  5. Agafem el revessat: 100(10+z-x)+90+(x-z-1)
  6. Sumem els dos: 99(x-z)+100(10+z-x)+90+(x-z-1)=99x-99z+1000+100z-100x+90+x-z-1=99x-100x+x -99z+100z-z + 1000+90-1 = 1089
  7. És 1089? Sí, i tant!

Aclariment: En cap moment el meu objectiu és desprestigiar les webs enllaçades; simplement, volia demostrar la base científica de tot plegat.

Fonts | Primer, segon, tercer i quart, i cinquè

Advertisements

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s

%d bloggers like this: