Curiositat matemàtica

Des de petit que he tingut un interès, més o menys marcat, per les curiositats matemàtiques. Tonteries que fan gràcia, i que en realitat ténen un fonament matemàtic; un fonament en el que, d’altra banda, evidentment no et fixes quan ets petit.

La curiositat matemàtica d’avui tracta sobre quelcom que es repeteix sempre. Quan a l’escola tractàvem dels nombres quadrats, sempre m’havia fixat en les diferències entre ells. Aquests són els primers quadrats:

1, 4, 9, 16, 25, 36…

En el que em fixava jo és que les diferències entre aquests quadrats són:

4-1, 9-4, 16-9, 25-16, 36-25, que són 3, 5, 7, 9, 11

Curiós, no? Una cosa que creix tan ràpidament com els quadrats, i resulta que les diferències creixen linealment! I perquè linealment? Doncs resulta que les diferències de les diferències, valgui la redundància, són:

5-3, 7-5, 9-7, 11-9, que són 2, 2, 2, 2

Perquè és això? Dura sempre? Per a nombres molt grans es compleix, també? Doncs sí.

Ho demostrarem per a tots els nombres. Sigui a un nombre qualsevol. Els tres quadrats que intervenen són el de a, el nombre que ve després d’a, i el que ve dos nombres després. Aquests dos últims són a+1 i a+2, respectivament.

Quins són els quadrats respectius? Simplement a^2, (a+1)^2, (a+2)^2. Agafem les dues diferències:

  1. (a+1)^2 – a^2 = a^2 + 2*a + 1 – a^2 = 2*a + 1.
  2. (a+2)^2 – (a+1)^2 = a^2 + 4*a + 4 – (a^2 + 2*a + 1) = a^2 + 4*a + 4  – a^2 – 2*a – 1 = 2*a + 3.

Val, ja tenim les dues diferències: 2*a + 1 i 2*a + 3. Si finalment trobem la diferència entre aquestes:

(2*a + 3) – (2*a + 1) = 2*a + 3 – 2*a – 1 = 3 – 1 = 2.

Acabem de veure que la diferència entre dues diferències consecutives de quadrats és 2. Sempre!

I aquí acaba la curiositat matemàtica d’avui ^^

Advertisements

Una resposta to “Curiositat matemàtica”

  1. mutsuda Says:

    Una altra curiositat és que el teu post te 1713 caràcters amb espais i 1392 amb, i si els restes obtens el número 321, i si al nombre de paraules totals del post (330) que està compost de 3 i 3 li restes 321, obtens el número 9, que és 3^2!


Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s

%d bloggers like this: